[이코테] Chap 9. 최단 경로

이론

최단 경로 알고리즘이란?

• Shortest Path; 가장 짧은 경로를 찾는 알고리즘
• 길 찾기 문제
• 다양한 종류가 있고, 상황에 맞는 효율적인 알고리즘이 이미 정립되어 있음
  • 한 지점에서 다른 특정 지점까지의 최단 경로를 구해야 하는 경우
  • 모든 지점에서 다른 모든 지점까지의 최단 경로를 모두 구해야 하는 경우
  → 이렇듯 다양한 사례에 맞는 알고리즘을 적용하면 쉽게 문제를 풀 수 있다.

표현

• 주로 그래프를 이용해 표현함
  • 각 지점 ⇒ 노드
  • 지점 간 연결된 도로 ⇒ 간선
  • (사진)

코테에서의 최단 거리 알고리즘 유형

• 컴공 학부 수준
  • 다익스트라 최단 경로 알고리즘
  • 플로이드 워셜 알고리즘
  • 벨만 포드 알고리즘
• 코테에 많이 등장하는 유형
  • 다익스트라 최단 경로 알고리즘
  • 플로이드 워셜 알고리즘
• 그리디 알고리즘과 DP 알고리즘은 최단 경로 알고리즘에 그대로 적용된다
  • 최단 경로가 그리디 및 DP 알고리즘의 한 유형으로 볼 수 있음

다익스트라 최단 경로 알고리즘

정의

• Dijkstra; 그래프에서 여러 개의 노드가 있을 때, 특정한 노드에서 출발하여 다른 노드로 가는 각각의 최단 경로를 구해주는 알고리즘
• 다익스트라는 ‘음의 간선’이 없을 때 정상적으로 동작한다.
• 음의 간선: 0보다 작은 값을 가지는 간선
• 현실 세계의 길(간선)은 음의 간선으로 표현되지 않으므로, 실제 GPS 소프트웨어의 기본 알고리즘에 다익스트라가 채택되곤 함
• 다익스트라는 기본적으로 그리디 알고리즘으로 분류된다
  • 매번 ‘가장 비용이 적은 노드’를 선택해서 임의의 과정을 반복하기 때문

알고리즘 원리

1. 출발 노드를 설정한다.
2. 최단 거리 테이블을 초기화한다.
3. 방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리가 가장 짧은 노드를 선택한다.
4. 해당 노드를 거쳐 다른 노드로 가는 비용을 계산하여 최단 거리 테이블을 갱신한다.
5. 위 과정에서 3과 4번을 반복한다.

• 최단 거리 테이블
  • ‘각 노드에 대한 현재까지의 최단 거리’ 정보를 저장하는 1차원 리스트
  • 최단 경로를 구하는 과정에서 계속해서 갱신함
• 매번 현재 처리하고 있는 노드를 기준으로 주변 간선을 확인한다.
• 나중에 현재 처리하고 있는 노드와 인접한 노드로 도달하는 더 짧은 경로를 찾으면 ‘더 짧은 경로도 있었네? 이제부터는 이 경로가 제일 짧은 경로야’라고 판단하는 것이다.
• 따라서 ‘방문하지 않은 노드 중에서 현재 최단 거리가 가장 짧은 노드를 확인’해 그 노드에 대하여 4번 과정을 수행한다는 점에서 그리디로 볼 수 있다.

다익스트라 구현 방법

• 방법1. 구현하기 쉽지만 느리게 동작하는 코드
• 방법2. 구현하기 조금 더 까다롭지만 빠르게 동작하는 코드
  • 2를 정확히 이해하고 구현할 수 있을 때까지 연습해야 한다.
  • 최단 경로 알고리즘을 응용해서 풀 수 있는 고난이도 문제들이 많다.

 

다익스트라 알고리즘 동작 원리

1번 노드에서 다른 모든 노드로 가는 최단 경로를 구하는 문제

출발 노드는 1, 다른 모든 노드로 가는 최단 거리를 '무한'으로 초기화.

* 이때 무한은 코드로 int(1e9)로 표현 할 수 있다.

 

step 0. 

- 방문하지 않은 노드 . 중최단 거리가 가장 짧은 노드 선택 -> 출발 노드 본인 선택 (거리 0)

 

step 1. 

1번 노드를 거쳐 다른 노드로 가는 비용 계산 => 1번 노드와 연결된 모든 간선을 하나씩 확인

2번 노드: 0+2 / 3번 노드: 0+5 / 4번 노드: 0+1

무한으로 되어 있던 각 노드의 비용을 무한보다 더 짧은 경로를 찾았으므로 새로 갱신

 

step 2.

이후 반복해서 방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리가 가장 짧은 노드 선택 => 4번 노드 선택

4번 노드를 거쳐서 갈 수 있는 노드 확인 -> 3, 5번

3번 노드: 1+3 / 5번 노드: 1+1

각각으로 가는 최소 비용이 위와 같으므로 리스트 갱신

 

step 3.

2번 노드 선택 - 2번과 4번 노드까지의 최단 거리가 2로 값이 같은데 이럴때 일반적으로 번호가 작은 노드를 선택

2번 노드를 거쳐서 갈 수 있는 노드 중에서 거리가 더 짧은 경우가 있는지 확인 -> 없음

2번-3번: 5(2+3) > 3번: 4 

이미 3번 노드까지의 최단 거리가 더 작으므로 갱신하지 않음

 

step 4.

5번 노드 선택 -> 3, 6번 노드 갈 수 있음

5-3번: 3(2+1) / 5-6번: 4(2+2) 

3번으로 가는 거리(3)가 기존 값인 4보다 작으므로 갱신.

6번으로 가는 거리(4)가 기존 값인 무한보다 작으므로 갱신.

 

step 5.

3번 노드 선택 -> 위의 과정 반복

 

step 6.

6번 노드 선택 -> 위의 과정 반복 -> 최종 최단 테이블

 

- 최단 거리 테이블: 1번 노드로부터 출발했을 때 2, 3, 4, 5, 6번 노드까지 가기 위한 최단 경로가 각각 0, 2, 3, 1, 2, 4

- 다익스트라 최단 경로 알고리즘: 방문하지 않은 노드 중에서 가장 최단 거리가 짧은 노드를 선택하는 과정을 반복 -> 이렇게 선택된 노드는 최단 거리가 완전히 선택된 노드이므로 더 이상 알고리즘을 반복해도 최단 거리가 줄지 않음.

- 위의 예시에서 실제로 한번 선택된 노드는 최단 거리가 감소하지 않음 (step 2에서 4번이 선택된 이후로 4번 최단 거리는 줄지 않음)

=> 다익스트라 알고리즘이 진행되면서 한 단계당 하나의 노드에 대한 최단 거리를 확실히 찾음

- 때문에 마지막 노드에 대해서는 해당 노드를 거쳐 다른 노드로 가는 경루를 확인할 필요가 없다.

 

다익스트라 알고리즘 구현1 - 간단

- 시간 복잡도 O(V^2)를 가짐 (V는 노드의 개수)

- 처음에 각 노드에 대한 최단 거리를 담는 1차원 리스트를 선언함

- 이후 단계마다 '방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리가 가장 짧은 노드를 선택'하기 위해 매 단계마다 1차원 리스트의 모든 원소를 확인(순차 탐색)한다.

 

import sys
input = sys.stdin.readline
INF = int(1e9)

n,m = map(int, input().split())
start = int(input())
graph = [[] for i in range(n+1)]
visited = [False] * (n+1)
distance = [INF] * (n+1)

# 모든 간선 정보 입력받기
for _ in range(m):
    a,b,c = map(int, input().split())
    # a번 노드에서 b번 노드로 가는 비용이 c라는 의미
    graph[a].append((b,c))
    
# 방문하지 않은 노드 중에서 가장 최단 거리가 짧은 노드의 번호 반환
def get_smallest_node():
    min_value = INF
    index = 0
    for i in range(1, n+1):
        if distance[i] < min_value and not visited[i]:
            min_value = distance[i]
            index = i
    return index

def dijkstra(start):
    distance[start] = 0
    visited[start] = True
    for j in graph[start]:
        cost = distance[j[0]] + j[1]
        if cost < distance[j[0]]:
            distance[j[0]] = cost
    
# 다익스트라 알고리즘 수행
dijkstra(start)

for i in range(1, n+1):
    if distance[i] == INF:
        print("INFINITY")
    else:
        print(distance[i])

 

- 총 O(V)번에 걸쳐서 최단 거리가 가장 짧은 노드를 매번 선형 탐색해야 하고, 현재 노드와 연결된 노드를 매번 일일이 확인하기 때문에 O(V^2)의 시간 복잡도를 가짐

- 노드의 개수가 10,000개를 넘어가는 문제라면 이 코드로 해결할 수 없음 -> 개선된 다익스트라 알고리즘 이용!

 

다익스트라 알고리즘 구현2 - 개선

- 개선된 다익스트라 알고리즘의 최악의 경우에도 O(ELogV)의 시간 복잡도를 보장함 (V는 노드의 개수, E는 간선의 개수)

- 간단한 다익스트라에서 매번 최단 거리 테이블을 선형적으로 탐색해야 했지만 (이 과정에서 O(V) 걸림), 최단 거리가 가장 짧은 노드를 더 빠르게 찾으면 시간 복잡도를 줄일 수 있음 -> 힙 자료구조 사용

- 힙 자료구조를 이용하면 특정 노드까지의 최단 거리에 대한 정보를 담아 처리하므로 출발 노드로부터 가장 거리가 짧은 노드를 더욱 빠르게 찾을 수 있음 -> 선형 시간이 아닌 로그 시간이 걸림

 

힙

• 힙 자료구조는 우선순위 큐(Priority Queue)를 구현하기 위해 사용하는 자료구조 . 중하나
• 우선순위 큐는 우선순위가 가장 높은 데이터를 가장 먼저 삭제함
  • 데이터를 우선순위에 따라 처리하고 싶을 때 사용
  • ex) 여러 개의 물건 데이터를 자료구조에 넣었다가 가치가 높은 물건 데이터부터 꺼내서 확인해야 하는 경우
  • 파이썬: PriorityQueue 또는 heapq 사용 (heapq가 . 더빠르게 동작)
  • 우선순위 값을 표현할 때 정수형 자료형의 변수가 사용됨
  • 우선순위 큐를 구현할 때는 내부적으로 최소 힙 혹은 최대 힙을 이용함
    • 최소 힙: 값이 낮은 데이터가 먼저 삭제됨
    • 최대 힙: 값이 큰 데이터가 먼저 삭제됨
  • 파이썬은 기본적으로 최소 힙 구조 이용 -> 다익스트라에서는 그대로 사용하면 됨 (비용 적은 것부터 방문)
• 우선순위 큐를 이용해서 시작 노드로부터 '거리'가 짧은 노드 순서대로 큐에서 나올 수 있도록 함

 

우선순위 큐 개념

- 각 원소를 거리가 짧은 순서대로 왼쪽부터 나열

- 우선순위 큐를 적용하여도 다익스트라 알고리즘이 동작하는 기본 원리는 동일함

- 최단 거리를 저장하기 위한 1차원 리스트(최단 거리 테이블)는 그대로 이용하고, 현재 가장 가까운 노드를 저장하기 위한 목적으로만 우선순위 큐를 추가롤 이용하는 것

 

step 0.

- 1번 노드가 출발 노드 / 나머지 모든 노드의 최단 거리는 무한으로 설정

- 우선순위 큐에 1번 노드를 넣음. 거리는 0 => (거리:0, 노드:1)를 우선순위 큐에 넣음

- 파이썬에서는 튜플(0,1)을 넣으면 첫 번째 원소를 기준으로 우선순위 큐를 구성함

 

step 1.

- 거리가 가장 짧은 노드를 선택하기 위해서는 우선순위 큐에서 그냥 노드를 꺼내면 됨

- 기본적으로 거리가 짧은 원소가 우선순위 큐의 최상위 원소로 위치함

- 우선순위 큐에서 노드를 꺼낸 뒤 해당 노드를 이미 처리한 적이 있다면 무시하면 되고, 아직 처리하지 않은 노드만 처리하면 됨

- step 1에선 (0,1)이 나옴. -> 1번 노드까지 가는 최단 거리가 0이라는 의미

- 1번 노드를 거쳐 2,3,4번 노드로 가는 최소 비용 계산 : 각각 2(0+2), 5(0+5), 1(0+1)이므로 각각 갱신한다.

- 이렇게 더 짧은 경로를 찾은 노드 정보들은 다시 우선순위 큐에 넣음

 

step 2.

- 다시 우선순위 큐에서 원소를 꺼내서 동일한 과정을 반복함 -> (1,4)가 추출됨

- 아직 노드 4를 방문하지 않았고 현재 최단 거리가 가장 짧은 노드가 4이므로 노드 4를 기준으로 노드 4와 연결된 간선들을 확인함

- 3,5번 노드로 가는 최소 비용: 각각 4(1+3), 2(1+1) 이다. 

- 기존(5,무한)보다 작으므로 리스트 갱신되고, 우선순위 큐에 (4,3), (2,5)가 들어감

 

step 3.

- 노드 2에 대해 처리함.

- 2번 노드를 거쳐서 가는 경우 중 현재의 최단 거리를 더 짧게 갱신할 수 있는 방법은 없음

- 따라서 우선순위 큐에 어떠한 원소도 들어가지 않고 리스트 갱신됨

 

step 4.

- 노드 5 처리.

- 3, 6번 노드: 3(2+1), 4(2+2) -> 기존 값인 4, 무한보다 작으므로 갱신됨

- (3,3), (4,6)이 우선순위 큐에 들어감

 

step 5.

- 원소 (3,3)을 꺼내서 3번 노드를 기준으로 알고리즘 수행. 최단 거리 테이블은 갱신되지 않음

 

step 6.

- (4,3)을 꺼내서 3번 노드를 기준으로 알고리즘 수행

- 다만 3번 노드는 이미 처리된 적이 있기 때문에 (4,3)이라는 원소는 무시

 

step 7.

- (4,6) 꺼내짐. 6번 노드에 대해 처리.

 

step 8.

- 마지막으로 남은 원소를 꺼내지만 이미 처리된 노드이므로 무시

 

 

- 모든 단계를 거친 후 최단 거리 테이블에 남아있는 0, 2, 3, 1, 2, 4가 각 노드로의 최단 거리임

- 1번 방법보다 훨씬 빠르게 동작함

- heapq의 데이터 개수가 N개일 때, 하나의 데이터를 삽입 삭제할 때의 시간 복잡도는 O(logN)

- 1번 코드와 비교해, get_smallest_node() 함수를 작성하지 않아도 됨

- 최단 거리가 가장 짧은 노드를 선택하는 과정을 다익스트라 최단 경로 함수 안에서 우선순위 큐를 이용하는 방식으로 대체함

 

import heapq
import sys
input = sys.stdin.readline
INF = int(1e9) # 무한을 의미하는 값으로 10억을 설정

# 노드의 개수, 간선의 개수를 입력받기
n, m = map(int, input().split())
# 시작 노드 번호를 입력받기
start = int(input())
# 각 노드에 연결되어 있는 노드에 대한 정보를 담는 리스트를 만들기
graph = [[] for i in range(n + 1)]
# 최단 거리 테이블을 모두 무한으로 초기화
distance = [INF] * (n + 1)

# 모든 간선 정보를 입력받기
for _ in range(m):
    a, b, c = map(int, input().split())
    # a번 노드에서 b번 노드로 가는 비용이 c라는 의미
    graph[a].append((b, c))

def dijkstra(start):
    q = []
    # 시작 노드로 가기 위한 최단 경로는 0으로 설정하여, 큐에 삽입
    heapq.heappush(q, (0, start))
    distance[start] = 0
    while q: # 큐가 비어있지 않다면
        # 가장 최단 거리가 짧은 노드에 대한 정보 꺼내기
        dist, now = heapq.heappop(q)
        # 현재 노드가 이미 처리된 적이 있는 노드라면 무시
        if distance[now] < dist:
            continue
        # 현재 노드와 연결된 다른 인접한 노드들을 확인
        for i in graph[now]:
            cost = dist + i[1]
            # 현재 노드를 거쳐서, 다른 노드로 이동하는 거리가 더 짧은 경우
            if cost < distance[i[0]]:
                distance[i[0]] = cost
                heapq.heappush(q, (cost, i[0]))

# 다익스트라 알고리즘을 수행
dijkstra(start)

# 모든 노드로 가기 위한 최단 거리를 출력
for i in range(1, n + 1):
    # 도달할 수 없는 경우, 무한(INFINITY)이라고 출력
    if distance[i] == INF:
        print("INFINITY")
    # 도달할 수 있는 경우 거리를 출력
    else:
        print(distance[i])

 

- 시간 복잡도가 간단한 버전보다 훨씬 빠르다 O(ElogV)

- 한 번 처리된 노드는 더 이상 처리되지 않음

 

 

플로이드 워셜 알고리즘 

• 한 지점에서 다른 특정 지점까지의 최단 경로를 구해야 하는 경우에 사용할 수 있는 최단 경로 알고리즘
• 모든 지점에서 다른 모든 지점까지의 최단 경로를 모두 구해야 하는 경우에 사용할 수 있음
• 플로이드 워셜도 다익스트라처럼 단계마다 '거쳐 가는 노드'를 기준으로 알고리즘을 수행하지만, 매번 방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리를 갖는 노드를 찾을 필요가 없다.
• 노드의 개수가 N개일 때 알고리즘 상으로 N번의 단계를 수행하며 단계마다 O(N^2)의 연산을 통해 현재 노드를 거쳐가는 모든 경로를 고려함
• 시간 복잡도는 O(N^3)
• 최단 거리 정보를 2차원 리스트에 저장함 - 모든 노드에 대하여 다른 모든 노드로 가는 최단 거리 정보를 담아야 하기 때문
• 2차원 리스트를 처리해야 하므로 N번의 단계에서 매번 O(N^2)의 시간이 소요됨
• 다익스트라는 그리디이지만, 플로이드 워셜은 다이나믹 프로그래밍임
• 노드의 개수가 N이라고 할 때, N번 만큼의 단계를 반보갛며 '점화식에 맞게' 2차원 리스트를 갱신하기 때문
• 각 단계에서는 해당 노드를 거쳐 가는 경우를 고려
  • 1번 노드를 확인할 때: 1번 노드를 중간에 거쳐 지나가는 모든 경우를 고려
  • A -> 1번 노드 -> B 로 가는 비용 확인 후, 최단 거리 갱신
• 구체적인 K번의 단계에 대한 점화식

• 전체적으로 3중 반복문을 이용하여 이 점화식에 따라 최단 거리 테이블을 갠신하면 됨
• 현재 확인하고 있는 노드를 제외하고, N-1 개의 노드 중에서 서로 다른 노드 (A,B) 쌍을 선택함
• A에서 B로 가는 최소 비용과 A에서 K를 거쳐 B로 가는 비용을 비교하여 더 작은 값으로 갱신한다
• 바로 이동하는 거리가 특정한 노드를 거쳐서 이동하는 거리보다 더 많은 비용을 가진다면 이를 더 짧은 것으로 갱신함

- 초기 상태에서 연결된 간선은 단순히 그 값을 넣고, 연결되지 않은 간선은 무한을 넣음

- Dab는 a에서 b로 가는 최단 거리

 

step 1.

- 1번 노드를 거쳐 가는 경우 고려

- 6 = 3P2 가지 경우에 대해서만 고려하고 하나씩 확인해 계산해 갱신

- 6가지 식을 모두 계산해서 값을 갱신하면 다음과 같다

 

step 2.

- 2번 노드를 거쳐 가는 경우 / 1, 3, 4번 노드에서 2개의 노드를 뽑는 경우 고려

- (1,3), (1,4), (3,1), (3,4), (4,1), (4,3)으로 6가지 경우가 있음

- 하늘색의 값들을 갱신함

- D13은 원래 무한이었는데 D12 + D23 = 11과 비교해서 11로 갱신

 

step 3.

- 3번 노드에 대해 동일한 과정 반복

- 1,2,4,번 중에서 두 쌍을 선택하는 경우 6가지를 확인해 갱신 (하늘색 부분)

 

step 4.

- 4번 노드 처리

 

최종 결과

- 노드 개수가 4개이므로 step 4까지 알고리즘 수행

- 테이블 내용은 모든 노드에서 모든 노드로 가는 최단 거리 정보를 표현함

- D13(첫번째 행의 세번째 열)은 8이라는 값을 가지고 있는데, 이는 1번 노드에서 3번 노드로 가는 최단 거리가 8이라는 의미

- 시간 복잡도는 O(N^3)

INF = int(1e9) # 무한을 의미하는 값으로 10억을 설정

# 노드의 개수 및 간선의 개수를 입력받기
n = int(input())
m = int(input())
# 2차원 리스트(그래프 표현)를 만들고, 모든 값을 무한으로 초기화
graph = [[INF] * (n + 1) for _ in range(n + 1)]

# 자기 자신에서 자기 자신으로 가는 비용은 0으로 초기화
for a in range(1, n + 1):
    for b in range(1, n + 1):
        if a == b:
            graph[a][b] = 0

# 각 간선에 대한 정보를 입력 받아, 그 값으로 초기화
for _ in range(m):
    # A에서 B로 가는 비용은 C라고 설정
    a, b, c = map(int, input().split())
    graph[a][b] = c

# 점화식에 따라 플로이드 워셜 알고리즘을 수행
for k in range(1, n + 1):
    for a in range(1, n + 1):
        for b in range(1, n + 1):
            graph[a][b] = min(graph[a][b], graph[a][k] + graph[k][b])

# 수행된 결과를 출력
for a in range(1, n + 1):
    for b in range(1, n + 1):
        # 도달할 수 없는 경우, 무한(INFINITY)이라고 출력
        if graph[a][b] == 1e9:
            print("INFINITY", end=" ")
        # 도달할 수 있는 경우 거리를 출력
        else:
            print(graph[a][b], end=" ")
    print()